CUADRILÁTEROS

 

Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados.

La suma de los ángulos interiores es 360º. 

 

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

La primera gran división que podemos realizar es cuadriláteros convexos y cuadriláteros no convexos, llamados puntas de flecha o deltoides.

CUADRILÁTERO CONVEXO

CUADRILÁTERO NO CONVEXO (CÓNCAVO)

Cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º.

O bien, dados dos puntos cualesquiera interiores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus puntos interiores al cuadrilátero.

Uno de los ángulos (D) es mayor de 180º.

Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales que el segmento PQ tenga puntos, X, exteriores al cuadrilátero

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS. 

La clasificación más extendida es atendiendo al paralelismo de sus lados,  se tiene:

CUADRILÁTEROS 

CONVEXOS

Dos pares de lados paralelos

Paralelogramos

Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos

Trapecios

Ningún lado paralelo

Trapezoides o simplemente cuadriláteros. 

    

 

 

C

 

U

 

A

 

D

 

R

 

I

 

L

 

Á

 

T

E

R

O

S

1.-PARALELOGRAMO

Lados paralelos dos a dos

 

P

A

R

A

L

E

L

O

G

R

A

M

O

S

RECTÁNGULO

Paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales.

Esto es cuatro ángulos rectos.

 

CUADRADO

                        

Tiene lados iguales y ángulos iguales.

Tiene cuatro ángulos rectos, y por tanto es un rectángulo.

 

ROMBO

Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales.

 

2.-TRAPECIO

Dos de sus lados, (normalmente llamados bases) son  paralelos.

 

T

R

A

P

E

C

I

O

S

TRAPECIO RECTÁNGULO

Un lado perpendicular a las bases.

O bien

Tiene dos ángulos rectos.

TRAPECIO ISÓSCELES

Los lados no paralelos son de igual longitud.

TRAPECIO ESCALENO

trapecio escaleno, para referirse a los no rectángulos ni isósceles.

 

3.-TRAPEZOIDE

Es un cuadrilátero, que no tienen lados paralelos.

Trapezoide Simétrico: Deltoide

Trapezoide Asimétrico

 

 

 

 

           

Teorema 1. “La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º”

 

Corolarios i) Si los cuatro ángulos son iguales, entonces cada ángulo es 90º

ii)Si dos ángulos son suplementarios, los otros dos también son    suplementarios.

Propiedades de los Paralelogramos

 

Paralelogramo: cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Base de un paralelogramo es cualquiera de sus lados, y altura es la distancia en la base y el lado opuesto.

Figura1. Un paralelogramo cualquiera.

 

 

Si en la figura 1, ABCD es un paralelogramo, entonces AD // BC y AB // DC. Además, si elegimos AB como base, entonces si DP ^ AB, entonces DP = altura del paralelogramo

 

 

 

NOTACIÓN: A veces el símbolo # indica paralelogramo.

 

 

Teorema 2. “ En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales”.

 

 

 

En efecto, son ángulos de la misma naturaleza y de lados paralelos.

 

 

NOTA :  En un # dos ángulos consecutivos son suplementarios ¿porqué?.

 

Teorema 3. “Todo cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales, es un paralelogramo”.

 

Teorema 4.  En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales”

 

Teorema 5. “Todo cuadrilátero que tiene dos lados iguales y paralelos es un paralelogramo“

 

Teorema 6. “En todo paralelogramo las diagonales se dimidian”.

 

 


Propiedades del Cuadrado:

 

Teorema 8: “Todo cuadrado es un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares e iguales”.

 

 

 

 

 

 

 


Cuadrado: cuadrilátero cuyos cuatros lados y cuatro ángulos son iguales.

Todos los lados tienen igual medida.

Los ángulos interiores del cuadrado miden 90º cada uno.

Las diagonales del cuadrado son iguales y  se dimidian.

Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores.

 

 

 

Propiedades de los Rombos:

 

Teorema 9: “ Todo rombo es un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares”

Figura 2

 

 

Rombo: cuadrilátero cuyos cuatros lados son iguales.

Sea ABCD de la figura 2 cuyas diagonales se cortan en Q.

Esta figura es un paralelogramo pues sus lados opuestos son iguales. Las diagonales se cortan en 90º pues los puntos B y D equidistan de los puntos A y C, y así la recta que sostiene BD es simetral de AC y luego son perpendiculares.

Las diagonales se dimidian y son bisectrices de los ángulos interiores.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Actividad: Recorte un cuadrado en una hoja de cartulina y haga el siguiente experimento: Muestre primero el cuadrado en la forma A (figura 3) y pregunte cómo se llama esa figura?

Figura 3.  Un sencillo experimento...

 

NO se extrañe que algunos digan es un rombo!. Luego, Ud. muestre la misma figura en la forma B. Y la respuesta será un cuadrado!. Pregunte a un estudiante ¿Cómo te llamas? ....y acostado ¿Cómo te llamas?.

 

 

 

Propiedades de los Rectángulos:

 

Teorema 7: “Todo rectángulo es un paralelogramo cuyas diagonales son iguales”

 

 

Rectángulo: cuadrilátero cuyos cuatro ángulos son iguales y por lo tanto, son rectos.

Sea ABCD el rectángulo.

Los ángulos interiores del cuadrado miden 90º cada uno.

Este cuadrilátero es un paralelogramo pues sus ángulos opuestos son iguales.

Las diagonales son iguales pues los triángulos ABC y ABD son congruentes

 Luego sus diagonales son iguales y se dimidian.

 

 

 

 

 

 

 

 

Propiedades del Romboide:

 

EL romboide es un paralelogramo, tiene las mismas propiedades.

 

 

 

             En todo paralelogramo:

           

Tiene dos pares de lados paralelos.

Los lados opuestos son iguales.

Los ángulos opuestos son congruentes.

Los ángulos consecutivos son suplementarios.

Las diagonales se dimidian.

 

 

 

Propiedades del Trapecio:

 

Teorema 10: “La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos es paralela a las bases y es igual a su semisuma”.

 

Figura 10.

 

Trapecio: cuadrilátero con solo dos lados paralelos, llamados bases; los lados no paralelos se llaman lados.

Un trapecio es rectángulo si los dos lados paralelos son perpendiculares a un tercero.

Un trapecio es isósceles cuando los lados no paralelos son iguales.

Sea ABCD el trapecio de la figura 10, con diagonal BD y sean E y F los puntos medios de los lados AD y BC respectivamente. Como G dimidia BD, EG y GF son medianas de los triángulos ABD y DCB respectivamente, luego EF // AB // DC.

 

 

 

 

Perímetros y áreas de los polígonos

Nombre

Dibujo

Perímetro

Área

Triángulo

P = Suma de los lados

P = b + c + d

p = semiperímetro

Cuadrado

P = 4 · a

Rectángulo

P = 2(b + a)

A = b · a

Rombo

P = 4 · a

Romboide

P = 2(b + c)

A = b · a

Trapecio

Trapezoide

A = Suma de las áreas de los dos triángulos

Polígono

regular

 

 

 

   n : numero de lados

  

 

 

    P : perímetro

   a : apotema

 

 

 

 

 

 

 

 

Actividades Cuadriláteros

Completa cada frase:

Ø      Los cuadriláteros se clasifican en _______________________________

Ø      Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman_______________

Ø      Los paralelogramos son _____________________________________

Ø      Las diagonales del cuadrado son__________________y se _____________

Ø      La medida de un ángulo interior de un rectángulo mide_________

Ø      Cuadrilátero que tiene un par de lado paralelo y tiene de igual medida los no paralelos se llama________________________________

Ø      Dos ángulos consecutivos son suplementarios  si suman_____________

Ø      En el rombo los ángulos _________son de __________medida.

Ø      Los trapezoides son

 

Contestar verdadero o falso, justificando la falsa.

 

______Las diagonales de un rectángulo son iguales

 

______Un polígono es regular solo si tiene lados iguales.

 

______La suma de los ángulos exteriores de un pentágono se calcula 180º(n-2)

 

­­­­______Trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos.

 

______Las diagonales del rombo son perpendiculares entre si.

 

______Un trapecio isósceles tiene los lados paralelos iguales.

 

______En un hexágono se pueden dibujar 3 diagonales desde un vértice.

 

______Un pentadecágono es un polígono de 12 lados.

 

_______La suma de los ángulos interiores de un octágono es 1.080º

 

_______El cuadrado tiene sus lados y ángulos iguales.